FIBONAČIJEV NIZ

(Brojevi*) Leonardo iz Pize, u istoriji matematike bolje upamćen kao Fibonači, 1202. godine zapisao je u knjigu Liber Abaci (Knjiga o računanju) i danas popularan zadatak koji na jednostavan način objašnjava takozvani Fibonačijev niz.

On je želeo da izračuna kako će se uvećavati populacija zečeva koji žive na jednom polju. Fibonači je zamislio da je u polje pušten par novorođenih zečeva – jedan mužjak i jedna ženka. Kada dostignu uzrast od mesec dana, oni se pare, i na kraju drugog meseca se razmnože tako da izrode još jedan par zečeva, mužjaka i ženku. Fibonači je pretpostavio da zečevi nikad ne uginu i da ženka svakog meseca okoti dva mladunca, mužjaka i ženku.

A evo i zadatka: koliko će parova zečeva biti na ovom polju po isteku prve godine?

Hajde da izračunamo!

Po isteku prvog meseca, naš par zečeva taman je stasao za parenje, ali se ženka još nije okotila i na polju su i dalje samo dva zeca, tojest jedan par.

Na kraju drugog meseca, ženka je okotila novog mužjaka i ženku, pa sada imamo dva para zečeva.

Na kraju trećeg meseca, mama zečica ponovo je okotila par zečeva, a njena ćerka ima mesec dana i spremna je za parenje. Sada imamo tri para zečeva.

Na kraju četvrtog meseca, najstarija ženka ponovo je okotila par zečeva. Njena najstarija ćerka takođe je okotila par zečeva. Mlađa ćerka je napunila mesec dana i tek je statsala za parenje. Imamo ukupno pet parova zečeva.

Populacija zečeva na polju raste ovim tempom: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… a svaki sledeći član niza jednak je zbiru prethodna dva.

Možemo li postaviti formulu za izračunaranje?

Fibonačijev broj ćemo izračunati koristeći poslednja dva broja niza. Znamo da indeksiranje članova niza počinje od nule, zatim sledi jedinica. Formula će glasiti:

Fn = Fn-1 + Fn-2
Fibonačijev niz ima još neke neobične osobine. Ako podelimo svaki broj u nizu sa onim koji mu prethodi, dobijamo rezultate koji teže vrednosti zlatnog preseka.

1 / 1 = 1
2 / 1 = 2
3 / 2 = 1,5
5 / 3 = 1,66
8 / 5 = 1,6
13 / 8 = 1,625
21 / 13 = 1,615
34 / 21 = 1,619
55 / 34 = 1,617

Fibonačijev niz vekovima fascinira kako naučnike tako i laike jer se grafički predstavljen (oblikujući tzv. Fibonačijeve spirale) može primetiti u prirodi, kao cvetovi u cvatu suncokreta, u kori ploda ananasa, rasporedu grana na stablu, cvetanju artičoke, u semenkama na plodu jagode, nekim šišarkama i cvetovima… Kroz istoriju se verovalo da ovaj niz ima mistična i harmonična svojstva.

M.Đ.

—–

Ilustracija: Depositphotos/belchonock

*Tekst je nastao prema eseju istog autora objavljenom u publikaciji “Brojevi” u izdanju CPN.