LINIJE GOSPODINA M.

“Oblaci nisu sfere, planine nisu kupe, ni kora drveta nije glatka, niti se svetlost kreće po pravoj liniji. Priroda pokazuje ne samo viši stepen već i različite nivoe kompleksnosti”, napisao je u uvodu u pionirsku knjigu “Fraktalna geometrija prirode” nekonvencionalni francuski matematičar Benoa Mandelbrot (1924–2010), koji će ostati zapamćen kao otac fraktala.

Matematičari pre Mandelbrota su fraktale smatrali “patološkim zverima”, prekomplikovanim da bi se proučavali. Smatrano je u najmanju ruku neugodnim što se neke od geometrijskih figura nacrtanih po sasvim pristojnim analitičkim formulama neobjašnjivo pretvaraju u ta diskretna, razlomljena čudovišta.

Fraktalna figura kakva je prikazana na slici generisana je računarskom simulacijom, a predstavlja takozvani Mandelbrotov skup. Ovaj skup je definisan jednim običnim, hladnim matematičkim uslovom da mu pripadaju brojevi c takvi da relacija koja povezuje komplekse brojeve Z(n+1)=Z(n)*Z(n)+c ostane “vezana”.

Na primer, ako c ima vrednost 1, onda relacija daje beskonačni niz 0,1,2,5,26… No, ako c ima vrednost -1, onda relacija daje “vezani” niz 0,-1,0,-1,… gde se vrednosti neprekidno ponavljaju. Zato vrednost -1 zadovoljava uslov, a skup svih takvih vrednosti c predstavlja Mandelbrotov skup. Kad se nacrtaju, ispostavlja se, one grade čitav novi, kompleksan univerzum.

Linija koja se dobija kad se elementi skupa nacrtaju u ravni je očigledno razlomljena i beskonačna, ali se pritom nalazi unutar površine koja je – konačna. Zato je, bar na prvi pogled, ovakav skup sve ono što jedan matematičar starog kova ne želi da vidi kod jedne figure.

Skup su pojedini matematičari ispitivali još početkom 20. veka, ali se potom pokazalo da ima “zastrašujuća” svojstva, pa se o njemu govorilo retko i sa nelagodom. Godine 1980. na njega je naišao Mandelbrot koji ga je opisao u jednom svom radu.

Tako je počela era fraktala, kompleksnih matematičkih figura koje ne samo da su čudne, već su i lepe. Mandelbrot je smislio i naziv “fraktal” koji je dobio od latinske reči fractus, što znači razlomljen ili delić.

Prema definiciji, fraktali su razlomljene geometrijske strukture koje su: samoslične, skalarno invarijantne i najčešće sa necelobrojnom Hauzdorfovom dimenzijom.

Šta to, u stvari, znači? Obična prava, jednodimenzionalna linija ima očekivano – dimenziju 1, kao što dvodimenzionalna figura u ravni, na primer kvadrat, ima dve dimenzije. Fraktali, kao što je Mandelbrotov skup, imaju dimenziju koja nije ni 1 , ni 2, nego je između 1 i 2. I dok su pravilne figure sačinjene od pravih duži, ove figure se sastoje od razlomljenih linija koje se sastoje od manjih celina.

Glavna karakteristika fraktala je što su sve manji i manji delovi njegovih linija sasvim nalik na ceo lik fraktala, što se naziva samosličnošću. Uz to, koliko god da im blizu prilazite, uvek vidite isti lik, što je pak pomenuta skalarna invarijantnost.

Ma kako delovale egzotično, ali i sasvim beskorisno, ispostavilo se da su baš ove linije gospodina Mandelbrota u poslednje tri decenije u velikoj meri promenile način na koji vidimo svet. Fraktali su postali neizostavni u proučavanju fenomena haosa i danas često služe u fizici.

Naime, nakon što ih je Mandelbrot jasno i jednostavno objasnio, uvodeći ih u matematiku kao odbeglu decu, najednom je postalo očigledno da fraktali nisu samo retke matematičke konstrukcije. I da je stvar u tome što je zapravo naš stari suviše robustni, euklidski način modeliranja prirode onaj koji je redak.

Pokazuje se da unaokolo uopšte nisu samo euklidske figure sa celobrojnom dimenzijom nego nas svuda okružuju fraktalni oblici – u krošnjama stabala, u pukotinama na asfaltu, u oblacima, u listovima kupusa, u liniji morske obale, planinskim vencima i snežnim pahuljicama, čak i na ljudskom dlanu.

S.B.

—–

Fraktal: Wolfgang Beyer / Ultra Fractal 3 / Wikimedia